நாற்கரம் என்பதற்கான மூலத்தைப் பார்

{{Infobox Polygon
| name          = நாற்கரம்
| image         = Six Quadrilaterals.svg
| caption       = சில நாற்கரங்கள்
| edges         = 4
| schläfli      = {4} (சதுரத்திற்கு)
| area          = பல்வேறு முறைகள்
| angle         = 90° (சதுரம், செவ்வகத்திற்கு)}}

நான்கு பக்கங்களைக் கொண்ட ஒரு [[பல்கோணம்]] '''நாற்கரம்''' அல்லது '''நாற்பக்கல்''' (''quadrilateral'') எனப்படும். மிகவும் பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட நாற்கோணம் [[நான்கு]] சமனற்ற பக்கங்களைக் கொண்டது.  <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math> and <math>D</math> என்ற நான்கு [[உச்சி (வடிவவியல்)|உச்சிகளைக்]]கொண்ட நாற்கரம் <math>\square ABCD</math> எனக் குறிக்கப்படுகிறது.<ref name=":0">{{Cite web|title=Quadrilaterals - Square, Rectangle, Rhombus, Trapezoid, Parallelogram|url=https://www.mathsisfun.com/quadrilaterals.html|access-date=2020-09-02|website=Mathsisfun.com}}</ref>

எளிய நாற்கரம்  ''ABCD'' இன் [[உட்கோணம்|உட்கோணங்களின்]] கூடுதல் 360 [[பாகை (அலகு)|பாகைகள்]], அதாவது,<ref name=":0" />
:<math>\angle A+\angle B+\angle C+\angle D=360^{\circ}.</math> ஒரு ''n''-கோணியின் உட்கோணங்களின் கூடுதலுக்கான வாய்பாடு (''n'' − 2) × 180° இல் ''n'' = 4 எனப் பதிலிட இம்மதிப்பு கிடைக்கும்

== நாற்கர வகைகள் ==
நாற்கரங்கள் எளிமையானவையாக (தன்னைத் தானே வெட்டிக்கொள்ளாதவை) அல்லது சிக்கலானவையாக (தன்னைத் தானே வெட்டிக்கொள்கிற) இருக்கலாம். 

== எளிமையான நாற்கரங்கள் ==
எளிமையான நாற்கரங்கள் [[குவிவுப் பல்கோணம்|குவிந்த]] நாற்கரங்களாகவோ அல்லது குழிந்த நாற்கரங்களாகவோ இருக்கக் கூடும். குவிந்த நாற்கரங்கள் பின்வரும் வகைகளாகப் பிரிக்கப்படும்: 

== குவிந்த நாற்கரங்கள் ==
* [[சரிவகம்]] (Trapezium): ஒரு சோடி எதிர்ப் பக்கங்கள் ஒன்றுக்கொன்று இணையானவை.

* [[இருசமபக்க சரிவகம்]] (Isosceles trapezium): ஒரு சோடி எதிர்ப் பக்கங்கள் இணையானவையாகவும், மற்ற இரண்டு பக்கங்களும் சமனானவையாகவும் இருக்கும். அடிக்கோணங்கள் இரண்டும் கோணங்கள் சமனானவையாகும். 

* [[இணைகரம்]] (Parallelogram): இரண்டு சோடி எதிர்ப்பக்கங்களும் ஒன்றுக்கொன்று இணையானவை; எதிர்ப் பக்கங்கள் சமனானவை; எதிர்க் கோணங்கள் சமனானவை. 

* [[வடிவவியல் பட்டம்|பட்டம்]]: இரண்டு சோடி அயல் பக்கங்கள் இரு வேறு சம நீளங்கள் கொண்டவை. இதனால் ஒரு சோடி எதிர்க் கோணங்கள் சமனானவை. [[மூலை விட்டம்|மூலை விட்டங்கள்]] செங்கோணத்தில் ஒன்றையொன்று வெட்டும். 

* [[சாய்சதுரம்]] (Rhombus): நான்கு பக்கங்களும் ஒன்றுக்கொன்று சமனானவை. எதிர்ப் பக்கங்கள் ஒன்றுக்கொன்று இணையானவை, எதிர்க் கோணங்களும் ஒன்றுக்கொன்று சமனானவை. மூலைவிட்டங்கள் செங்கோணத்தில் சமகூறாக வெட்டுகின்றன. 

* [[செவ்வகம்]] (Rectangle):எதிர்ப் பக்கங்கள் சம நீளம் கொண்டவை. ஒவ்வொரு கோணமும் செங்கோணமாகும். இதனால் எதிர்ப் பக்கங்கள் இணையானவை. மூலைவிட்டங்கள் செங்கோணத்தில் ஒன்றையொன்று சம துண்டங்களாக வெட்டுகின்றன.

* [[சதுரம்]] (square) (ஒழுங்கான நாற்கரங்கம்): நான்கு பக்கங்களும் சம நீளம் கொண்டவை. ஒவ்வொரு கோணமும் செங்கோணமாகும். இதனால் எதிர்ப் பக்கங்கள் இணையானவை. மூலைவிட்டங்கள் செங்கோணத்தில் ஒன்றையொன்று சம துண்டங்களாக வெட்டுகின்றன. 

* [[வட்ட நாற்கரம்]] (Cyclic quadrilateral): நான்கு உச்சிகளும் ஒரு வட்டத்தின் பரிதியில் அமைந்திருப்பன.

* [[தொடுகோட்டு நாற்கரம்]] (Tangential quadrilateral): நான்கு பக்கங்களும் உள்ளே வரையப்பட்ட வட்டமொன்றின் தொடுகோடுகளாகும். 

* [[இருமைய நாற்கரம்]] (Bicentric quadrilateral): முன் குறிப்பிட்ட இரண்டுமாக இருக்கும்.

[[படிமம்:Quadrilateral_t.png]]

== குழிந்த நாற்கரங்கள் ==
குழிந்த நாற்கரத்தில் ஒரு உட்கோணம் 180° விட அதிகமாக இருக்கும். மேலும் இரண்டு மூலைவிட்டங்களில் ஒன்று நாற்கரத்துக்கு வெளிப்புறத்தில் இருக்கும்.

== சிக்கலான நாற்கரங்கள் ==

தன்னைத்தானே வெட்டிக்கொள்ளும் நாற்கரம், சிக்கலான நாற்கரம் எனப்படும். இது ''குறுக்கு-நாற்கரம்'' என்றும் அழைக்கப்படும். ஒரு குறுக்கு நாற்கரத்தின் குறுக்குக்கு ஒரே பக்கத்தில் அமையும் (இடப்புறம் அல்லது வலப்புறம்) நான்கு உட்கோணங்களின் (2 குறுங்கோணம், 2 [[கோணம்#பின்வளை கோணம்|பின்வளை கோணம்]]) கூடுதல் 720° ஆக இருக்கும்.<ref>{{cite web|url=http://mysite.mweb.co.za/residents/profmd/stars.pdf|title=Stars: A Second Look|format=PDF|website=Mysite.mweb.co.za|access-date=March 1, 2022|archive-date=மார்ச் 3, 2016|archive-url=https://web.archive.org/web/20160303182521/http://mysite.mweb.co.za/residents/profmd/stars.pdf|url-status=dead}}</ref>

*குறுக்கு சரிவகம்: ஒரு சோடி அடுத்தில்லாத பக்கங்களை இணையாகக் கொண்ட குறுக்கு நாற்கரம்.<ref>{{cite web | url=https://blogs.adelaide.edu.au/maths-learning/2016/04/06/the-crossed-trapezium/ | title=The crossed trapezium | last=Butler | first=David | date=2016-04-06 | website=Making Your Own Sense | access-date=2017-09-13}}</ref>
*[[எதிர் இணைகரம்]]: ஒவ்வொரு சோடி அடுத்தில்லாத பக்கங்களும் சமநீளமுள்ளவையாகக் கொண்ட குறுக்கு நாற்கரம்.
*குறுக்கு செவ்வகம்: ஒரு செவ்வகத்தின் இரு எதிர்ப்பக்கங்களையும் இரு மூலைவிட்டங்களையும் கொண்ட குறுக்கு நாற்கரம்.
*குறுக்கு சதுரம்: இரு பக்கங்கள் செங்கோணத்தில் வெட்டிக்கொள்ளும் குறுக்கு செவ்வகம்.
{| class=wikitable
|[[File:Crossed isosceles trapezoid.png|100px]]
|[[File:Antiparallelogram.svg|100px]]
|[[File:Crossed rectangles.png|100px]]
|[[File:Tetrahemihexahedron vertfig.png|100px|]]
|-
!குறுக்கு இருசமபக்கச்<BR>சரிவகம்
![[எதிர் இணைகரம்]]
!குறுக்கு செவ்வகம்
!குறுக்கு சதுரம்
|}

== பெயரிடல் வகைப்பாடு ==
நாற்கரங்களின் பெயரிடல் வகைப்பாட்டைக் (taxonomic classification) கீழேயுள்ள வரைபு காட்டுகின்றது. கீழுள்ள வடிவங்கள் மேலுள்ள வடிவங்களின் சிறப்பு நிலைகளாகும். 

[[படிமம்:Quadrilateral hierarchy_t.png|நாற்கரங்களின் பெயர்கள். கீழுள்ள வடிவங்கள் மேலுள்ள வடிவங்களின் சிறப்பு நிலைகளாகும்.]]

== குவிந்த நாற்கரத்தின் பரப்பளவு ==
ஒரு குவிந்த செவ்வகத்தின் பரப்பளவு காண்பதற்கு பல வாய்பாடுகள் உள்ளன. 
எடுத்துக்கொள்ளப்படும் குவிந்த நாற்கரம் ''ABCD'' இன் பக்கங்கள்: {{math|''a'' {{=}}  ''AB'', ''b'' {{=}} ''BC'', ''c'' {{=}} ''CD'', ''d'' {{=}} ''DA''}}; பரப்பளவு {{math|''K''}}. 　

== முக்கோணவியல் வாய்பாடுகள் ==
:<math>K = \frac{pq}{2} \sin \theta,</math><ref name=":1">{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Quadrilateral|url=https://mathworld.wolfram.com/Quadrilateral.html|access-date=2020-09-02|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref> {{math|''p''}}, {{math|''q''}} செவ்வகத்தின் மூலைவிட்டங்களின் நீளங்கள்; அவற்றுக்கு இடைப்பட்ட கோணம் {{math|''θ''}}.<ref>Harries, J. "Area of a quadrilateral," ''Mathematical Gazette'' 86, July 2002, 310–311.</ref>

[[செங்குத்து மூலைவிட்ட நாற்கரம்|செங்குத்து மூலைவிட்ட நாற்கரமாக]] இருந்தால் (எ.கா. சாய்சதுரம், சதுரம், பட்டம் போன்றவை)), பரப்பளவின் இவ்வாய்பாடு பின்னுள்ளபடி சுருங்கும்:
: <math>K=\tfrac{pq}{2}</math> ({{math|''θ''}} = {{math|90°}}, {{math|''sin''90°}} = {{math|1}}).

இருநடுக்கோடுகளின் வாயிலாகப் பரப்பளவின் வாய்பாடு:<ref name=Josefsson4/>
:<math>K = mn \sin \varphi,</math> இருநடுக்கோடுகளின் நீளங்கள் {{math|''m''}} and {{math|''n''}}; அவற்றுக்கு இடைப்பட்ட கோணம் {{math|''φ''}}.

குறுக்கு நாற்கரமல்லாதவற்றுக்கு கீழுள்ள இரு வாய்பாடுகள் பயன்படும்:
:<math>K=\frac{1}{2}\sqrt{p^2q^2-[(d-a\cos A)(d-c\cos D)-ac\sin A\sin D]^2}</math> ({{math|''a''}}, {{math|''c''}}, {{math|''d''}} பக்கங்கள்;  {{math|''A''}}, {{math|''D''}} கோணங்கள்)
:<math>K=\frac{a\sin A(d-c\cos D)+(d-a\cos A)c\sin D}{2}</math> ({{math|''a'', ''c'', ''d''}} பக்கங்கள்; {{math|''A'', ''D''}} கோணங்கள்)

நாற்கரம் சரிவகமாக இருந்தால் {{nobreak|''A''+''D''{{=}}180°}} ஆகும். எனவே பரப்பளவின் வாய்பாடு கீழுள்ளவாறு சுருங்கும்:
:<math>K=\frac{a+c}{2}d\sin{A}</math>

[[பிரெட்ஷ்ணைடரின் வாய்பாடு]], நாற்கரத்தின் பரப்பளவை அதன் பக்கங்கள், இரு எதிர்கோணங்கள் வாயிலாகத் தருகிறது:<ref>R. A. Johnson, ''Advanced Euclidean Geometry'', 2007, [[Dover Publications|Dover Publ.]], p. 82.</ref><ref name=":1" /> 
:<math>\begin{align}
K &= \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d) - \tfrac{1}{2} abcd \; [ 1 + \cos (A + C) ]} \\
&= \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d) - abcd \left[ \cos^2 \left( \tfrac{A + C}{2} \right)\right]}
\end{align}</math>

இதில், {{math|''a''}}, {{math|''b''}}, {{math|''c''}}, {{math|''d''}} நான்கும் நாற்கரத்தின் பக்கங்கள்; {{math|''s''}} [[அரைச்சுற்றளவு]]; {{math|''A''}}, {{math|''C''}} இரு எதிர்கோணங்கள். {{math|{{nobreak|''A'' + ''C'' {{=}} 180°}}}} ஆக இருந்தால், நாற்கரம் வட்ட நாற்கரமாகும். அதன் பரப்பளவின் வாய்பாடு [[பிரம்மகுப்தரின் வாய்பாடு]] ஆகச் சுருங்கும்..

பக்கங்கள் {{math|''b''}}, {{math|''c''}} பக்கங்களுக்கு இடைப்பட்ட கோணம் {{math|''C''}}; {{math|''a''}}, {{math|''d''}} பக்கங்களுக்கு இடைப்பட்ட கோணம் {{math|''A''}} எனில் பரப்பளவின் வாய்பாடு:
:<math>K = \frac{ad}{2} \sin{A} + \frac{bc}{2} \sin{C}.</math>

வட்ட நாற்கரமாக இருந்தால் இதே வாய்பாடு பின்வருமாறு அமையும்:
:<math>K = \frac{ad+bc}{2}\sin{A}.</math> ({{math|{{nobreak|''A'' + ''C'' {{=}} 180°}}}} => sinC=sin(180-A)=sinA)
 
இணைகரத்தின் இரு சோடி எதிர்ப்பக்கங்களும் கோணங்களும் சமம் என்பதால், பரப்பளவின் வாய்பாடு: <math>K=ab \cdot \sin{A}.</math> ({{math|''A'' {{=}} ''C''}}; {{math|''a'' {{=}} ''c''}}, {{math|''b'' {{=}} ''d''}}) 

நாற்கரத்தின் பக்கங்கள், மூலைவிட்டங்கள் வெட்டிக்கொள்ளும் கோணம் {{math|''θ''}} ({{math|''θ''}}, {{math|90°}} ஆக இருக்கக் கூடாது) வாயிலாக பரப்பளவு:<ref name=Mitchell>Mitchell, Douglas W., "The area of a quadrilateral," ''Mathematical Gazette'' 93, July 2009, 306–309.</ref>
:<math>K = \frac{\left|\tan \theta\right|}{4} \cdot \left| a^2 + c^2 - b^2 - d^2 \right|.</math>

இணைகரத்துக்கு இந்த வாய்பாடு:
:<math>K = \frac{\left|\tan \theta\right|}{2}\cdot \left| a^2 - b^2 \right|.</math> ({{math|''a'' {{=}} ''c''}}, {{math|''b'' {{=}} ''d''}})

{{math|''a''}}, {{math|''b''}}, {{math|''c''}}, {{math|''d''}} ஆகிய நான்கு பக்கங்கள் வாயிலாக மற்றொரு வாய்பாடு:<ref name=Josefsson4>{{citation
 | last = Josefsson | first = Martin
 | journal = Forum Geometricorum
 | pages = 17–21
 | title = Five Proofs of an Area Characterization of Rectangles
 | url = http://forumgeom.fau.edu/FG2013volume13/FG201304.pdf
 | volume = 13
 | year = 2013}}.</ref>
:<math>K=\frac{\sqrt{((a^2+c^2)-2x^2)((b^2+d^2)-2x^2)}}{2}\sin{\varphi}</math>
இதில், {{math|''x''}} ஆனது மூலைவிட்டங்களின் நடுப்புள்ளிகளுக்கு இடைப்பட்ட தூரம்; {{math|''φ''}} என்பது இருநடுக்கோடுகளுக்கு இடைப்பட்ட கோணம்.

== முக்கோணவியல் சார்புகளற்ற வாய்பாடுகள் ==
:<math>K = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d) - \tfrac{ac+bd+pq}{4}(ac+bd-pq)},</math> <ref>J. L. Coolidge, "A historically interesting formula for the area of a quadrilateral", ''American Mathematical Monthly'', 46 (1939) 345–347.</ref>
:இதில் நாற்கரத்தின் பக்கங்கள் {{math|''a''}}, {{math|''b''}}, {{math|''c''}}, {{math|''d''}}; [[அரைச்சுற்றளவு]] {{math|''s''}}; மூலைவிட்டங்கள் {{math|''p''}}, {{math|''q''}} வட்ட நாற்கரத்தில் {{math|1=''pq'' = ''ac'' + ''bd''}} ஆக இருக்கும் என்பதால் இது [[பிரம்மகுப்தரின் வாய்பாடு]] ஆகச் சுருங்கும். 

:<math>K = \frac{\sqrt{4p^{2}q^{2}- \left( a^{2}+c^{2}-b^{2}-d^{2} \right) ^{2}}}{4}.</math> <ref>{{cite web |author=E.W. Weisstein |title=Bretschneider's formula |url=http://mathworld.wolfram.com/BretschneidersFormula.html |publisher=MathWorld – A Wolfram Web Resource}}</ref>

இருநடுக்கோடுகள் {{math|''m''}}, {{math|''n''}}, மூலைவிட்டங்கள் {{math|''p''}}, {{math|''q''}} வாயிலாகப் பரப்பளவு:
:<math>K=\frac{\sqrt{(m+n+p)(m+n-p)(m+n+q)(m+n-q)}}{2},</math> <ref>Archibald, R. C., "The Area of a Quadrilateral", ''American Mathematical Monthly'', 29 (1922) pp. 29–36.</ref>

:<math>K=\frac{\sqrt{p^2q^2-(m^2-n^2)^2}}{2}.</math> <ref name=Josefsson3>{{citation
 | last = Josefsson | first = Martin
 | journal = Forum Geometricorum
 | pages = 155–164
 | title = The Area of a Bicentric Quadrilateral
 | url = http://forumgeom.fau.edu/FG2011volume11/FG201116.pdf
 | volume = 11
 | year = 2011}}.</ref>{{rp|Thm. 7}}

{{math|''m''}}, {{math|''n''}}, {{math|''p''}}, {{math|''q''}} நான்கும் <math>p^2+q^2=2(m^2+n^2)</math>எனத் தொடர்புடையவை. இவை நான்கில் எவையேனும் மூன்றின் அளவுகளை மட்டும்கொண்டும் பரப்பளவு காண முடியும்.<ref name=Altshiller-Court/>{{rp|p. 126}} எனவே கீழுள்ள வாய்பாடுகள் கிடைக்கின்றன:<ref name=Josefsson6>Josefsson, Martin (2016) ‘100.31 Heron-like formulas for quadrilaterals’, ''The Mathematical Gazette'', '''100''' (549), pp. 505–508.</ref>

இருநடுக்கோடுகளின் நீளங்களும் ஒரு மூலைவிட்டமும் பயன்படுத்தி பரப்பளவின் வாய்பாடு:
:<math>K=\frac{\sqrt{[(m+n)^2-p^2]\cdot[p^2-(m-n)^2]}}{2},</math> 

இரு மூலைவிட்டங்களும் ஒரு இருநடுக்கோடும் கொண்ட வாய்பாடு:
:<math>K=\frac{\sqrt{[(p+q)^2-4m^2]\cdot[4m^2-(p-q)^2]}}{4},</math>

== திசையன் வாய்பாடுகள் ==
[[திசையன்|திசையன்களைப்]] பயன்படுத்தி நாற்கரம் {{math|''ABCD''}} இன் பரப்பளவின் வாய்பாடு:
:<math>K = \frac{|\mathbf{AC}\times\mathbf{BD}|}{2},</math> ({{math|'''AC'''}}, {{math|'''BD'''}} திசையன்கள், நாற்கரத்தின் மூலைவிட்டங்கள்) 

இது, {{math|'''AC'''}}, {{math|'''BD'''}} திசையன்களின் [[குறுக்குப் பெருக்கு (திசையன்)|குறுக்குப் பெருக்கத்தின்]] மட்டு அளவில் பாதியாகும். இரு பரிமாண யூக்ளிடிய தளத்தில் இவ்விரு திசையன்களும் {{math|('''''x''<sub>1</sub>,''y''<sub>1</sub>''')}}, {{math|('''''x''<sub>2</sub>,''y''<sub>2</sub>''')}} எனில் பரப்பளவின் வாய்பாடு பின்வருமாறு அமையும்:
:<math>K = \frac{|x_1 y_2 - x_2 y_1|}{2}.</math>

== மூலைவிட்டங்கள் ==
== மூலைவிட்டங்களின் பண்புகள் ==
கீழுள்ள அட்டவணையில் சில அடிப்படையான நாற்கரங்களின் மூலைவிட்டங்கள் இருசமக்கூறிடுபவையா, செங்குத்தானவையா அல்லது சமமானவையான எனத் தரப்பட்டுள்ளது.<ref>{{Cite web|url=https://math.okstate.edu/geoset/Projects/Ideas/QuadDiags.htm|title=Diagonals of Quadrilaterals -- Perpendicular, Bisecting or Both|website=Math.okstate.edu|access-date=1 March 2022}}</ref> 

{| class="wikitable"
|-
! நாற்கரம் ||இருசமக்கூறிடும் மூலைவிட்டங்கள் || செங்குத்து மூலைவிட்டங்கள் || சம மூலைவிட்டங்கள்
|-
! [[சரிவகம்]] 
|| இல்லை  ||  || இல்லை
|-
! [[இருசமபக்க சரிவகம்]] 
|| இல்லை ||  || உண்டு
|-<!--
! நேர் சரிவகம்
||  ||  || இல்லை
|--->
! [[இணைகரம்]] 
|| உண்டு || இல்லை || இல்லை
|-
! [[பட்டம் (வடிவவியல்)|பட்டம்]] 
||  || உண்டு || 
|-
! [[செவ்வகம்]] 
|| உண்டு || இல்லை || உண்டு
|-
! [[சாய்சதுரம்]] 
|| உண்டு || உண்டு || இல்லை
|-
! [[சதுரம்]] 
|| உண்டு || உண்டு || உண்டு
|}

== மூலைவிட்டங்களின் நீளங்கள் ==
''ABCD'' நாற்கரத்தின் இரு பக்கங்கள், ஒரு மூலைவிட்டம் ஆகியவற்றால் அமையும் முக்கோணங்கள் ஒவ்வொன்றிலும் [[கோசைன் விதி]]யைப் பயன்படுத்தி மூலைவிட்டங்களின் நீளங்களைக் காணலாம்:
:<math>p=\sqrt{a^2+b^2-2ab\cos{B}}=\sqrt{c^2+d^2-2cd\cos{D}}</math>
:<math>q=\sqrt{a^2+d^2-2ad\cos{A}}=\sqrt{b^2+c^2-2bc\cos{C}}.</math>

மேலும் சமச்சீர்மையுள்ள பிற வாய்பாடுகள்:<ref>Rashid, M. A. & Ajibade, A. O., "Two conditions for a quadrilateral to be cyclic expressed in terms of the lengths of its sides", ''Int. J. Math. Educ. Sci. Technol.'', vol. 34 (2003) no. 5, pp. 739–799.</ref>
:<math>p=\sqrt{\frac{(ac+bd)(ad+bc)-2abcd(\cos{B}+\cos{D})}{ab+cd}}</math>
:<math>q=\sqrt{\frac{(ab+cd)(ac+bd)-2abcd(\cos{A}+\cos{C})}{ad+bc}}.</math>

== இணைகரவிதியும், தொலெமியின் தேற்றத்தின் பொதுமைப்படுத்தலும் ==
எந்தவொரு குவிவு நாற்கரத்திலும் அதன் நான்கு பக்க நீளங்களின் வர்க்கங்ளின் கூட்டுத்தொகையானது, அதன் மூலைவிட்ட நீளங்களின் வர்க்கங்கள், மூலைவிட்டங்களின் நடுப்புள்ளிகளை இணைக்கும் கோட்டுத்துண்டின் நீளத்தின் வர்க்கத்தின் நான்கு மடங்கு இவற்றின் கூட்டுத்தொகைக்குச் சமமாக இருக்கும். அதாவது குவிவு நாற்கரம்  ''ABCD'' எனில்:
:<math> a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = p^2 + q^2 + 4x^2 </math> இதில், மூலைவிட்டங்களின் நடுப்புள்ளிகளை இணைக்கும் கோட்டுத்துண்டின் நீளம் ''x''.<ref name=Altshiller-Court/>{{rp|p.126}} இம்முடிவானது [[ஆய்லரின் நாற்கரத் தேற்றம்]] என அறியப்படுவதோடு, [[இணைகர விதி]]யின் பொதுமைப்படுத்தலுமாக உள்ளது.

1842 இல் செருமானியக் கணிதவியலாளர் கார்ல் ஆன்டன் பிரெட்ஷ்ணைடர், [[தொலெமியின் தேற்றம்|தொலெமியின் தேற்றத்தின்]] பொதுமைப்படுத்தலைக் கீழுள்ளவாறு தந்துள்ளார். இது குவிவு நாற்கரத்தின் இரு மூலைவிட்ட நீளங்களின் வர்க்கங்களின் பெருக்குத்தொகையினைத் தருகிறது:<ref>Andreescu, Titu & Andrica, Dorian, ''Complex Numbers from A to...Z'', Birkhäuser, 2006, pp. 207–209.</ref>
:<math> p^2q^2=a^2c^2+b^2d^2-2abcd\cos{(A+C)}.</math>

இதனை நாற்கரங்களுக்கான [[கோசைன் விதி]]யாகக் கொள்ளலாம். வட்ட நாற்கரத்தில் ''A'' + ''C'' = 180° என்பதால்  cos (''A'' + ''C'') = &minus;1. எனவே இம்முடிவு  ''pq = ac + bd'' எனச் சுருங்கும்.

== கோண இருசமவெட்டிகள் ==
ஒரு குவிவு நாற்கரத்தின் உட்கோண [[இருசமக்கூறிடல்|இருசமவெட்டிகள்]] ஒரு [[வட்ட நாற்கரம்|வட்ட நாற்கரத்தை அமைக்கும்]]<ref name=Altshiller-Court/>{{rp|p.127}} (அதாவது அடுத்துள்ள கோணங்களின் இருசமவெட்டிகள் சந்திக்கும் புள்ளிகள் ஒரே வட்டத்தின் மீதமையும்) அல்லது, நான்கு உட்கோண இருசமவெட்டிகளும் [[ஒரே புள்ளியில் சந்திக்கும் கோடுகள்|ஒரே புள்ளியில் சந்திக்கும்]]. பிந்தைய வகையில் நாற்கரமானது, [[தொடுகோட்டு நாற்கரம்|தொடு நாற்கரமாக]] இருக்கும்.

''ABCD'' நாற்கரத்தின் ''A'', ''C'' கோணங்களின் இருசமவெட்டிகள் சந்திக்கும் புள்ளி மூலைவிட்டம் ''BD'' இன் மீதமைந்தால். ''B'', ''D'' கோணங்களின் இருசமவெட்டிகள் மூலைவிட்டம் ''AC'' இன் மீது அமையும்.<ref>Leversha, Gerry, "A property of the diagonals of a cyclic quadrilateral", ''Mathematical Gazette'' 93, March 2009, 116–118.</ref>

== இருநடுக்கோடுகள் ==
[[File:Varignon theorem convex.png|300px|thumb|நாற்கரத்தின் பக்க நடுப்புள்ளிகளை இணைக்கும் இணைகரம் ''EFGH'']]

ஒரு நாற்கரத்தின் எதிர்ப்பக்கங்களின் நடுப்புள்ளிகளை இணைக்கும் கோட்டுத்துண்டுகள் '''இருநடுக்கோடுகள்''' எனப்படும். இரு நடுக்கோடுகள் வெட்டும்புள்ளி நாற்கரத்தின் உச்சிகளின் [[திணிவு மையம்]] ஆகும்.<ref name=":1" />

எந்தவொரு நாற்கரத்தின் (குவிந்த, குழிந்த, குறுக்கு நாற்கரங்கள்) பக்கங்களின் நடுப்புள்ளிகள் ஒரு [[இணைகரம்|இணைகரத்தின்]] உச்சிப் புள்ளிகளாகும்.

இந்த இணைகரத்தின் பண்புகள்:
*இணைகரத்தின் ஒவ்வொரு சோடி எதிர்ப்பக்கங்களும் மூல நாற்கரத்தின் மூலைவிட்டத்திற்கு இணையாகும்.
*இணைகரத்தின் ஒரு பக்கத்தின் நீளம் அப்பக்கம் எந்த மூலைவிட்டத்திற்கு இணையாக இருக்கிறதோ அதன் நீளத்தில் பாதி.
*இணைகரத்தின் பரப்பளவு, மூல நாற்கரத்தின் பரப்பளவில் பாதி.<ref>H. S. M. Coxeter and S. L. Greitzer, Geometry Revisited, MAA, 1967, pp.&nbsp;52–53.</ref>
*இணைகரத்தின் [[சுற்றளவு]], மூல நாற்கரத்தின் மூலைவிட்டங்களின் கூட்டுத்தொகைக்குச் சமமாக இருக்கும்.
*இணைகரத்தின் மூலைவிட்டங்கள் மூல முக்கோணத்தின் இருநடுக்கோடுகளாக இருக்கும்.

மூல நாற்கரத்தின் இரண்டு இருநடுக்கோடுகளும் மூலைவிட்டங்களின் நடுப்புள்ளிகளை இணைக்கும் கோட்டுத்துண்டும் ஒரே புள்ளியில் சந்திக்கும் கோடுகளாக இருக்கும். மேலும் அவை சந்திக்கும் புள்ளி அவற்றை இருசமக்கூறிடும்.<ref name=Altshiller-Court>Altshiller-Court, Nathan, ''College Geometry'', Dover Publ., 2007.</ref>{{rp|p.125}}

ஒரு குவிவு நாற்கரத்தின் பக்கங்கள் ''a'', ''b'', ''c'', ''d'' எனில், ''a'', ''c'' பக்கங்களின் நடுப்புள்ளிகளை இணைக்கும் இருநடுக்கோட்டின் நீளம்:
:<math>m=\tfrac{1}{2}\sqrt{-a^2+b^2-c^2+d^2+p^2+q^2}</math> (''p'', ''q'' மூலைவிட்ட நீளங்கள்)<ref>{{cite web| url = http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?t=363253| title = Mateescu Constantin, Answer to ''Inequality Of Diagonal''| access-date = 2022-05-25| archive-date = 2014-10-24| archive-url = https://web.archive.org/web/20141024134419/http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?t=363253| url-status = }}</ref> 

''b'', ''d'' பக்கங்களின் நடுப்புள்ளிகளை இணைக்கும் இருநடுக்கோட்டின் நீளம்:
:<math>n=\tfrac{1}{2}\sqrt{a^2-b^2+c^2-d^2+p^2+q^2}.</math>

இவ்விரு முடிவுகளிலிருந்து பின்வரும் மதிப்பைப் பெறலாம்.
:<math>\displaystyle p^2+q^2=2(m^2+n^2).</math><ref name=Altshiller-Court/>{{rp|p.126}}

இருநடுக்கோடுகளின் நீளங்களை எதிர்ப்பக்க நீளங்கள், மூலைவிட்டங்களின் நடுப்புள்ளிகளுக்கு இடைப்பட்ட தூரம் ஆகியவற்றின் வாயிலாக எழுதலாம். ஆய்லரின் நாற்கரத் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி இதனைப் பெறலாம்:<ref name=Josefsson3/>
:<math>m=\tfrac{1}{2}\sqrt{2(b^2+d^2)-4x^2}</math>
:<math>n=\tfrac{1}{2}\sqrt{2(a^2+c^2)-4x^2}.</math>

ஒவ்வொரு இருநடுக்கோட்டு நீள வாய்பாட்டிலும் உள்ள எதிர்ப்பக்கங்கள், அந்த இருநடுக்கோடுகள் இணைக்கும் எதிர்ப்பக்கங்கள் இல்லை.

குவிவு நாற்கரத்தில், இருநடுக்கோடுகளுக்கும் மூலைவிட்டங்களுக்குமிடையே பின்வரும் இரும இணைப்பு இருப்பதைக் காணலாம்:<ref name=Josefsson>{{citation
 | last = Josefsson | first = Martin
 | journal = Forum Geometricorum
 | pages = 13–25
 | title = Characterizations of Orthodiagonal Quadrilaterals
 | url = http://forumgeom.fau.edu/FG2012volume12/FG201202.pdf
 | volume = 12
 | year = 2012}}.</ref>
* இரு மூலைவிட்டங்களும் செங்குத்தாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, இருநடுக்கோடுகள் இரண்டும் சமநீளமுள்ளவை.
* இரு மூலைவிட்டங்களும் சமநீளமுள்ளவையாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, இருநடுக்கோடுகள் இரண்டும் செங்குத்தானவை.

== முக்கோணவியல் முற்றொருமைகள் ==
நாற்கரம் ''ABCD'' இன் நான்கு கோணங்களும் பின்வரும் முற்றொருமைகளை நிறைவு செய்யும்:<ref>C. V. Durell & A. Robson, ''Advanced Trigonometry'', Dover, 2003, p. 267.</ref>
:<math>\sin{A}+\sin{B}+\sin{C}+\sin{D}=4\sin{\frac{A+B}{2}}\sin{\frac{A+C}{2}}\sin{\frac{A+D}{2}}</math>
:<math>\frac{\tan{A}\tan{B}-\tan{C}\tan{D}}{\tan{A}\tan{C}-\tan{B}\tan{D}}=\frac{\tan{(A+C)}}{\tan{(A+B)}}.</math>
:<math>\frac{\tan{A}+\tan{B}+\tan{C}+\tan{D}}{\cot{A}+\cot{B}+\cot{C}+\cot{D}}=\tan{A}\tan{B}\tan{C}\tan{D}.</math><ref>{{cite web|url=http://www.mathpropress.com/archive/RabinowitzProblems1963-2005.pdf|format=PDF|title=Original Problems Proposed by Stanley Rabinowitz 1963–2005|website=Mathpropress.com|access-date=March 1, 2022}}</ref>

tan&nbsp;90° இன் மதிப்பு வரையறுக்கப் படாததால், கடைசி இரு முற்றொருமைகளிலும் எந்தவொரு கோணமும் [[செங்கோணம்|செங்கோணமாக]] இருக்க முடியாது.

<math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math>, <math>d</math> குவிவு நாற்கரத்தின் பக்கங்கள்; <math>s</math> அரைச்சுற்றளவு; <math>A,</math> <math>C</math> எதிர்கோணங்கள் எனில்:<ref>{{Cite web|url=http://matinf.upit.ro/MATINF6/index.html#p=1|title=E. A. José García, Two Identities and their Consequences, MATINF, 6 (2020) 5-11|website=Matinf.upit.ro|access-date=1 March 2022}}</ref>
:<math>ad\sin^2{\frac{A}{2}}+bc\cos^2{\frac{C}{2}}=(s-a)(s-d)</math>
:<math>bc\sin^2{\frac{C}{2}}+ad\cos^2{\frac{A}{2}}=(s-b)(s-c)</math>.

இவற்றைப் பயன்படுத்தி [[பிரெட்ஷ்ணைடரின் வாய்பாடு|பிரெட்ஷ்ணைடரின் வாய்பாட்டைப்]] பெறலாம்.

== சமனிலிகள் ==
== பரப்பளவு  ==
குவிவு நாற்கரத்தின் பக்க நீளங்கள் ''a'', ''b'', ''c'', ''d''; மூலைவிட்டங்கள் ''p'', ''q'' எனில் பரப்பளவு ''K'' நிறைவு செய்யும் சமனிலிகள்:<ref>O. Bottema, ''Geometric Inequalities'', Wolters–Noordhoff Publishing, The Netherlands, 1969, pp. 129, 132.</ref>
:<math>K\le \tfrac{1}{4}(a+c)(b+d)</math> [[செவ்வகம்|செவ்வகத்துக்கு]] மட்டுமே சமக்குறி பொருந்தும்.
:<math>K\le \tfrac{1}{4}(a^2+b^2+c^2+d^2)</math> [[சதுரம்|சதுரத்துக்கு]] மட்டுமே சமக்குறி பொருந்தும்.
:<math>K\le \tfrac{1}{4}(p^2+q^2)</math> மூலைவிட்டங்கள் செங்குத்தாக இருந்தால் மட்டுமே சமக்குறி பொருந்தும்.
:<math>K\le \tfrac{1}{2}\sqrt{(a^2+c^2)(b^2+d^2)}</math> செவ்வகத்துக்கு மட்டுமே சமக்குறி பொருந்தும்.<ref name=Josefsson4/>

[[பிரெட்ஷ்ணைடரின் வாய்பாடு]] மூலம் நாற்கரத்தின் பரப்பளவு:
:<math>K \le \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}</math> வட்ட நாற்கரமாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, சமக்குறி பொருந்தும்.

பரப்பளவு நிறைவு செய்யும் மற்றொரு சமனிலி:<ref name=Alsina>{{citation|last1=Alsina|first1=Claudi|last2=Nelsen|first2=Roger|title=When Less is More: Visualizing Basic Inequalities|publisher=Mathematical Association of America|year=2009|page=68}}.</ref>
:<math>\displaystyle K\le \tfrac{1}{2}\sqrt[3]{(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}.</math>

நாற்கரத்தின் சுற்றளவு ''L'' எனில்<ref name=Alsina/>{{rp|p.114}}
:<math>K\le \tfrac{1}{16}L^2,</math> சமக்குறி சதுரத்துக்கு மட்டுமே பொருந்தும்.

''p'', ''q'' மூலைவிட்டங்கள் எனில்:
:<math>K \le \tfrac{1}{2}pq</math>, மூலைவிட்டங்கள் செங்குத்தாக இருந்தால் மட்டுமே சமக்குறி பொருந்தும்.

:<math> K \leq \frac{a^2+b^2+c^2+d^2+p^2+q^2+pq-ac-bd}{8} </math><ref>Dao Thanh Oai, Leonard Giugiuc, Problem 12033, American Mathematical Monthly, March 2018, p. 277</ref> சதுரத்துக்கு மட்டுமே சமக்குறி பொருந்தும்.

:<math> K \leq \frac{1}{3+\sqrt{3}}(ab+ac+ad+bc+bd+cd)- \frac{1}{2(1+\sqrt{3})^2}(a^2+b^2+c^2+d^2) </math><ref>{{cite journal|author1=Leonard Mihai Giugiuc|author2=Dao Thanh Oai|author3=Kadir Altintas|title=An inequality related to the lengths and area of a convex quadrilateral|journal=International Journal of Geometry|volume=7|date=2018|pages=81–86|url=https://ijgeometry.com/wp-content/uploads/2018/04/81-86.pdf|format=PDF}}</ref> சதுரத்துக்கு மட்டுமே சமக்குறி பொருந்தும்.

== மூலைவிட்டங்கள், இருநடுக்கோடுகள் ==
ஆய்லரின் நாற்கரத் தேற்றத்தின் கிளைமுடிவுச் சமனிலி:
:<math> a^2 + b^2 + c^2 + d^2 \ge p^2 + q^2 ,</math> இணைகரத்துக்கு மட்டுமே சமக்குறி பொருந்தும்.

வட்ட நாற்கரத்துக்குச் சமனியாகவுள்ள [[தொலெமியின் தேற்றம்|தொலெமியின் தேற்ற]] முடிவைப் பொதுமைப்படுத்தி குவிவு நாற்கரத்துக்கு சமனிலியாக  [[லியோனார்டு ஆய்லர்|ஆய்லர்]] மாற்றியுள்ளார்:
:<math> pq \le ac + bd </math><ref name=Altshiller-Court/>{{rp|p.128–129}} பெரும்பாலும் இது தொலெமியின் சமனிலி எனப்படுகிறது.

இருநடுக்கோடுகள் ''m, n''; மூலைவிட்டங்கள் ''p, q'' எனில் அவற்றைத் தொடர்புபடுத்தும் சமனிலி:
:<math>pq \leq m^2+n^2,</math> மூலைவிட்டங்கள் சமமாக இருந்தால் மட்டுமே, சமக்குறி பொருந்தும்.<ref name=J2014>{{cite journal |last=Josefsson |first=Martin |title=Properties of equidiagonal quadrilaterals |journal=Forum Geometricorum |volume=14 |year=2014 |pages=129–144 |url=http://forumgeom.fau.edu/FG2014volume14/FG201412index.html }}</ref>{{rp|Prop.1}} <math>m^2+n^2=\tfrac{1}{2}(p^2+q^2).</math> முற்றொருமையிலிருந்து இச்சமனிலி நேரிடையாகப் பெறப்படுகிறது.

== பக்கங்கள் ==
நாற்கரத்தின் பக்கங்கள் ''a'', ''b'', ''c'', ''d'' நிறைவுசெய்யும் சமனிலிகள்:
:<math>a^2+b^2+c^2 > \frac{d^2}{3}</math><ref name=Crux>{{cite web|url=http://www.imomath.com/othercomp/Journ/ineq.pdf|format=PDF|title=Inequalities proposed in ''Crux Mathematicorum'' (from vol. 1, no. 1 to vol. 4, no. 2 known as "Eureka")|website=Imomath.com|access-date=March 1, 2022}}</ref>{{rp|p.228,#275}}
:<math>a^4+b^4+c^4 \geq \frac{d^4}{27}.</math><ref name=Crux/>{{rp|p.234,#466}}

== பெரும, சிறுமப் பண்புகள் ==
குறிப்பிட்ட சுற்றளவுள்ள எல்லா நாற்கரங்களிலும் மிக அதிகப் பரப்பளவுள்ள நாற்கரம் ஒரு சதுரமாக இருக்கும். இதனைக் கீழுள்ள சமனிலியிலிருந்து பெறலாம்.<ref name=Alsina/>{{rp|p.114}}
:<math>K\le \tfrac{1}{16}L^2</math>, ''K'' - பரப்பளவு; ''L'' சுற்றளவு. நாற்கரம், சதுரமாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, சமக்குறி பொருந்தும். இதேபோல ஒரே பரப்பளவுள்ள நாற்கரங்களில் மிகச் சிறியளவு சுற்றளவுள்ளது சதுரம்.

தரப்பட்ட பக்கநீளங்கள் கொண்ட நாற்கரங்களில் [[பெருமம் மற்றும் சிறுமம்|அதிகபட்ச]] பரப்பளவு கொண்டது [[வட்ட நாற்கரம்]].<ref name=Peter/>

தரப்பட்ட மூலைவிட்டங்களையுடைய குவிவு நாற்கரங்களில் மிக அதிகப் பரப்பளவு கொண்டது [[செங்குத்து மூலைவிட்ட நாற்கரம்]].<ref name=Alsina/>{{rp|p.119}} இதனை நேரிடையாகக் பின்வரும் பரப்பளவு சமனிலியிலிருந்து பெறலாம்:
:<math>K=\tfrac{1}{2}pq\sin{\theta}\le \tfrac{1}{2}pq,</math> மூலைவிட்டங்கள் ''p'', ''q'' க்கு இடைப்பட்ட கோணம் ''θ''.  ''θ'' = 90° ஆக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, சமக்குறி பொருந்தும்.

குவிவு நாற்கரம் ''ABCD'' இன் உள்ளமையும் புள்ளி ''P'' எனில்::<math>AP+BP+CP+DP\ge AC+BD.</math>

இச்சமனிலியிலிருந்து, நாற்கரத்தின் உச்சிகளிலிருந்துள்ள தூரங்களின் கூட்டுத்தொகையை [[பெருமம் மற்றும் சிறுமம்|சிறுமமாகக்]] கொண்ட உள்ளமை புள்ளி மூலைவிட்டங்கள் வெட்டிக்கொள்ளும் புள்ளி என அறியலாம். எனவே இப்புள்ளி குவிவு நாற்கரத்தின் [[பெர்மா புள்ளி]]யாகும்<ref name=autogenerated1>{{cite book |last1=Alsina |first1=Claudi |last2=Nelsen |first2=Roger |title=Charming Proofs : A Journey Into Elegant Mathematics |url=https://archive.org/details/charmingproofsjo0000alsi |publisher=Mathematical Association of America |year=2010 |pages=[https://archive.org/details/charmingproofsjo0000alsi/page/114 114], 119, 120, 261 |isbn=978-0-88385-348-1 }}</ref>{{rp|p.120}}

== குவிவு நாற்கரங்களின் பிற பண்புகள் ==
*நாற்கரத்தி எல்லாப் பக்கங்களின் மீதும் வெளிப்புறமாக சதுரங்கள் வரையப்பட்டால், எதிரெதிர் சதுரங்களின் மையங்களை இணைக்கும் கோட்டுத்துண்டுகள் சம நீளமுள்ளவை; செங்த்தானவை. இவை ஒரு [[செங்குத்து மூலைவிட்ட நாற்கரம்|செங்குத்து மூலைவிட்ட நாற்கரத்தின்]] உச்சிகளாக இருக்கும்.
*ஒரு எளிய நாற்கரத்தின் பக்கங்களுக்கு சமமான பக்கங்களைக் கொண்ட ஒரு வட்ட நாற்கரம் இருக்கும்.<ref name=Peter>Peter, Thomas, "Maximizing the Area of a Quadrilateral", ''The College Mathematics Journal'', Vol. 34, No. 4 (September 2003), pp. 315–316.</ref>
*நாற்கரத்தின் மூலைவிட்டங்கள், பக்கங்களால் உருவாகும் நான்கு முக்கோணங்களில், ஒரு சோடி எதிர் முக்கோணங்களின் பரப்பளவுகளின் பெருக்குத்தொகை மற்ற இரு முக்கோணங்களின் பரப்பளவுகளின் பெருக்குத்தொகைக்குச் சமமாக இருக்கும்.<ref>{{cite journal|author=Josefsson, Martin|url=http://forumgeom.fau.edu/FG2013volume13/FG201305.pdf|format=PDF|title=Characterizations of Trapezoids|journal=Forum Geometricorum|volume=13|date=2013|pages=23–35}}</ref>

== மேற்கோள்கள் ==
{{Reflist}}

== வெளியிணைப்புகள் ==
{{Commons category|Tetragons|நாற்கரங்கள்}}
* {{springer|title=Quadrangle, complete|id=p/q076010}}
* [http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/PerpBisectQuadri.shtml Quadrilaterals Formed by Perpendicular Bisectors], [http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/ProjectiveQuadri.shtml Projective Collinearity] and  [http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/Quadrilaterals.shtml Interactive Classification] of Quadrilaterals from [[cut-the-knot]]
* [http://www.mathopenref.com/tocs/quadrilateraltoc.html Definitions and examples of quadrilaterals] and [http://www.mathopenref.com/tetragon.html Definition and properties of tetragons] from Mathopenref
* [http://dynamicmathematicslearning.com/quad-tree-new-web.html A (dynamic) Hierarchical Quadrilateral Tree] at [http://dynamicmathematicslearning.com/JavaGSPLinks.htm Dynamic Geometry Sketches]
* [http://mysite.mweb.co.za/residents/profmd/quadclassify.pdf An extended classification of quadrilaterals] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20191230004754/http://mysite.mweb.co.za/residents/profmd/quadclassify.pdf |date=2019-12-30 }} at [http://mysite.mweb.co.za/residents/profmd/homepage4.html Dynamic Math Learning Homepage] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20180825150046/http://mysite.mweb.co.za/residents/profmd/homepage4.html |date=2018-08-25 }}
* [https://web.archive.org/web/20110719175018/http://mzone.mweb.co.za/residents/profmd/classify.pdf The role and function of a hierarchical classification of quadrilaterals] by Michael de Villiers

[[பகுப்பு:நாற்கரங்கள்]]